Cho hình trụ có chiều cao bằng . Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung qu...

* Hướng dẫn giải

Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD (với AB là dây cung của hình tròn tâm O). Do hình trụ có chiều cao là \(h = OO' = 4\sqrt 2 \Rightarrow \) hình trụ có độ dài đường sinh \(l = AD = 4\sqrt 2 \).

Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng \(AB.CD = 16 \Rightarrow AB = \frac{{16}}{{AD}} = \frac{{16}}{{4\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \). Gọi K là trung điểm đoạn AB thì \(OK \bot AB\), lại có mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ \(\Rightarrow OK \bot mp\left( {ABCD} \right) \Rightarrow\) khoảng cách giữa OO' và mặt phẳng (ABCD) là \(OK = \sqrt 2 \). Xét tam giác vuông AOK

\(R = OA = \sqrt {O{K^2} + A{K^2}} = \sqrt {O{K^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là \(S = 2\pi R.l = 2\pi .2.4\sqrt 2 = 16\pi \sqrt 2 \)