Cho hàm số . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3;3] sao cho ?

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a\).

\(g'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x;g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 12{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Do \(2m \ge M > 0\) nên m > 0 suy ra \(g\left( x \right) \ne 0\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\).

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l} a + 1 < 0\\ a > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a < - 1\\ a > 0 \end{array} \right.\).

Nếu a < -1 thì M = -a, \(m = - a - 12\left( { - a - 1} \right) \ge - a \Leftrightarrow a \le - 2\)

Nếu a > 0 thì M = a + 1, \(m = a \Leftrightarrow 2a \ge a + 1 \Leftrightarrow a \ge 1\).

Do đó \(a \le - 2\) hoặc \(a \ge 1\), do a nguyên và thuộc đoạn [-3;3] nên \(a \in \left\{ { - 3; - 2;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.