Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi , đặt T = b2 - a2 thì:

* Hướng dẫn giải

Ta có \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\)

\( \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + {\left( {x - 2} \right)^3} + 8 + m - 3x = {2^3} + {2^{2 - x}}\)

\(\Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + m - 3x = {2^{2 - x}} + {\left( {2 - x} \right)^3}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + {t^3}\) trên R có \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3{t^2} > 0,\forall t \in R\) nên hàm số liên tục và đồng biến trên R.

Do đó từ (1) suy ra \(m - 3x = {\left( {2 - x} \right)^3} \Leftrightarrow m = 8 - 9x + 6{x^2} - {x^3}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 8\) trên R có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x - 9\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 1 \end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 4 < m < 8.

Suy ra \(a = 4;{\rm{ }}b = 8 \Rightarrow T = {b^2} - {a^2} = 48\).