Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có . Gọi M là trung điểm của BB'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC' theo a.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(CC'//AA' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'A'} \right) \supset AM\).

\(\Rightarrow d\left( {AM;CC'} \right) = d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\)

Trong (ANC) kẻ \(CH \bot AB\) (\(H \in AB\)) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} CH \bot AB\\ CH \bot AA' \end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA.CB.\sin \widehat {ACB} = \frac{1}{2}.2a.a.\sin 120^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat {ACB}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2} - 2.2a.a.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)} = a\sqrt 7 \)

Mà \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB \Rightarrow CH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\).