Cho phương trình . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x > \frac{1}{3}\) và m > 0

Phương trình đã cho tương đương: \(lo{g_3}x - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = {\log _3}\frac{1}{m} \Leftrightarrow \frac{x}{{3x - 1}} = \frac{1}{m}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{3x - 1}}\) với \(x > \frac{1}{3}\) có

\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x > \frac{1}{3}\)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi \(\frac{1}{m} > \frac{1}{3} \Leftrightarrow 0 < m < 3.\)

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}.\)