Cho hàm số . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để .

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + ax + a}}{{x + 1}}\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^4} + 4{x^3}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;{\mkern 1mu} 2} \right]\)

Do đó \(f\left( 1 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 2 \right),\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) hay \(a + \frac{1}{2} \le f\left( x \right) \le a + \frac{{16}}{3},{\mkern 1mu} \forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Xét các trường hợp sau :

TH1: Nếu \(a + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow a > - \frac{1}{2}\) thì \(M = a + \frac{{16}}{3},m = a + \frac{1}{2}\)

Theo đề bài: \(M \ge 2m \Leftrightarrow a + \frac{{16}}{3} \ge 2\left( {a + \frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow a \le \frac{{13}}{3}\)

Do a nguyên nên \(a \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

TH2 : Nếu \(a + \frac{{16}}{3} < 0 \Leftrightarrow a < - \frac{{16}}{3}\) thì \(m = - \left( {a + \frac{{16}}{3}} \right),M = - \left( {a + \frac{1}{2}} \right)\)

Theo đề bài: \(M \ge 2m \Leftrightarrow - \left( {a + \frac{1}{2}} \right) \ge - 2\left( {a + \frac{{16}}{3}} \right) \Leftrightarrow a \ge - \frac{{61}}{6}\)

Do a nguyên nên \(a \in \left\{ { - 10; - 9;...; - 6} \right\}\).

TH3: Nếu \(a + \frac{1}{2} \le 0 \le a + \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow - \frac{{16}}{3} \le a \le - \frac{1}{2}\) thì \(M = \max \left\{ {\left| {a + \frac{1}{2}} \right|,\left| {a + \frac{{16}}{3}} \right|} \right\} \ge 0,m = 0\)

Khi đó \(M \ge 2m,\forall a \in \left[ { - \frac{{16}}{3};\; - \frac{1}{2}} \right]\)

Do a nguyên nên \(a \in \left\{ { - 5; - 4;...; - 1} \right\}\)

Vậy có 15 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.