Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60o diện tích xung quanh bằng . Tính thể tích V của khối nón đã cho.

* Hướng dẫn giải

Thể tích \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO.\)

Ta có \(\widehat {ASB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ASO} = 30^\circ \Rightarrow \tan 30^\circ = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow SO = OA\sqrt 3 .\)

Lại có \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .OA.SA = \pi .OA\sqrt {O{A^2} + S{O^2}} = 6\pi {a^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OA\sqrt {O{A^2} + 3O{A^2}} = 6{a^2} \Rightarrow 2O{A^2} = 6{a^2}\\ \Rightarrow OA = a\sqrt 3 \Rightarrow SO = 3a \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi .3{a^2}.3a = 3\pi {a^3}. \end{array}\)