Cho hình chóp có đáy S.ABC là tam giác vuông tại B, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên ). Khoảng cách giữa h...

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của cạnh AB suy ra \(SH \bot AB\), lại có \((SAB) \cap (ABC) = AB\), \((SAB) \bot (ABC)\) nên \(SH \bot (ABC)\)

Dựng hình bình hành ABCD ta có

\(AC//BD \Rightarrow \,\,AC//(SBD) \Rightarrow \,\,d(AC,SB) = d(AC,(SBD)) = d(A,SBD)) = 2d(H,(SBD)).\)

Kẻ \(HK \bot BD\,\,(K \in BD)\,\,;HE \bot SK\,\,(E \in SK)\, \Rightarrow \,\,\,HE \bot (SBD)\). Vậy \(d(H,(SBD)) = HE.\)

Ta có \(HB = 2a,\,\,\angle ABK = {30^0}\) suy ra \(HK = HB.\sin {30^0} = a\)

Ta có \(SH = 2a\sqrt 3 \). Tam giác SHK vuông tại K nên \(HE = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {H{K^2} + S{H^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Vậy \(d(AC,SB) = \frac{{4a\sqrt {39} }}{{13}}.\)