Cho hàm số Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên Tìm số phần tử của S.

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - mx + 1,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 3{x^2} - m\)

Nhận xét: Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) được suy từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách giữ lại phần đồ thị phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới Ox qua Ox (xóa bỏ phần đồ thị của y = f(x) nằm phía dưới Ox).

TH1: Với m = 0 ta có hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) đồng biến trên R

Có \(f\left( 1 \right) = 2 > 0 \Rightarrow \) hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \,\,\,\,\,m = 0\) thỏa mãn.

TH2: Với m > 0 ta có:

f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)

Để hàm số \(y = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên \([1; + \infty )\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ {x_1} < {x_2} \le 1\\ f\left( 1 \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \frac{{ - m}}{3} + 1 \ge 0\\ 2 - m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\)

Mà  \(m \in N \Rightarrow \,\,\,m \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Vậy, \(S = \left\{ {0;1;2} \right\}.\) Số phần tử của S là 3.