Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R \ {0;-1} thỏa mãn điều kiện và . Giá trị , với . Tính .

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có \(x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x\frac{x}{{x + 1}}.f'\left( x \right) + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{x}{{x + 1}}\), với \(\forall x \in R\backslash \left\{ {0;\,\, - 1} \right\}\).

Suy ra \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \int {\frac{x}{{x + 1}}\,} {\rm{d}}x\) hay \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| + C\).

Mặt khác, ta có \(f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\) nên C = -1. Do đó \(\frac{x}{{x + 1}}.f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| - 1\).

Với x = 2 thì \(\frac{2}{3}.f\left( 2 \right) = 1 - \ln 3 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - \frac{3}{2}\).

Vậy \({a^2} + {b^2} = \frac{9}{2}\).