Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện . Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Ta giả thiết \({x^2} + {y^2} + xy + 4 = 4y + 3x \Leftrightarrow \,\,\,{x^2} + {y^2} + xy + 4 - 4y - 3x = 0\,\,(1)\)

Ta có (1) xảy ra khi \({\Delta _1} = {\left( {y - 3} \right)^2} - 4\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) \ge 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1 \le y \le \frac{7}{3}\)

Ta có  \({x^2} + {y^2} + xy + 4 = 4y + 3x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + xy = 4y + 3x - 4\)

\(\begin{array}{l} P = 3\left( {{x^3} - {y^3}} \right) + 20{x^2} + 2xy + 5{y^2} + 39x\\ = 3\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) + 20{x^2} + 2xy + 5{y^2} + 39x\\ = 29{x^2} - 7{y^2} + 5xy + 27x + 12y\\ P \le - 7{y^2} + 5.\frac{4}{3}y + 27.\frac{4}{3} + 12y + 29.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} = - 7{\left( {y - \frac{4}{3}} \right)^2} + 100 \end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 100 khi \(x = y = \frac{4}{3}\).