Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.

* Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng minh tam giác SAC và tam giác SAN vuông tại A suy ra \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi P là trung điểm của AC suy ra \(BC//\left( {SMP} \right)\).

Do đó: \(d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SMP} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMP} \right)} \right)\).

Ta có: \(AN \bot MP\) lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(MP \subset \left( {ABC} \right)\) nên suy ra \(MP \bot \left( {SAO} \right)\).

Dẫn đến \(\left( {SMP} \right) \bot \left( {SAO} \right)\). Gọi H là hình chiếu của A trên SO ta suy ra \(AH \bot \left( {SMP} \right)\)

Vậy \(d\left( {A,\left( {SMP} \right)} \right) = AH\).

Xét tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(AH = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + S{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)

Như vậy \(d\left( {BC,SM} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).