Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên (0;2)?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\).

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi

\(y' \ge 0,\,\forall x \in \left( {0;\,2} \right)\) và dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng (0;2).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;\,2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x \ge {m^2} - 3m + 2\,\,\left( * \right)\forall x \in \left( {0;\,2} \right) \end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 6x,x \in \left( {0;\,2} \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 6x + 6 > 0,\,\forall x \in \left( {0;\,2} \right)\).

Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để (*) xảy ra là: \({m^2} - 3m + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2\).

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).