Cho hàm f(x) liên tục trên thỏa mãn . Giá trị của bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(2{x^2}f\left( {{x^2}} \right) + 2xf\left( {2x} \right) = 2{x^4} - 4x - 3,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\(\Rightarrow 2xf\left( {{x^2}} \right) + 2f\left( {2x} \right) = 2{x^3} - 4 - \frac{3}{x},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

⇒ \(\int {\left[ {2xf\left( {{x^2}} \right) + 2f\left( {2x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {\left( {2{x^3} - 4 - \frac{3}{x}} \right){\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow F\left( {{x^2}} \right) + F\left( {2x} \right) = \frac{{{x^4}}}{2} - 4x - 3\ln x + C\)

Cho \(x = \frac{1}{2}\) ta được \(F\left( {\frac{1}{4}} \right) + F\left( 1 \right) = - \frac{{63}}{{32}} + 3\ln 2 + C\).

Cho x = 1 ta được \(F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = - \frac{7}{2} + C\).

Do đó, \(\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 2 \right) - F\left( {\frac{1}{4}} \right) = - \frac{7}{2} + \frac{{63}}{{32}} - 3\ln 2 = - \frac{{49}}{{32}} - 3\ln 2\).