Cho hình chóp S.ABC biết , SA = a. Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a. M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi P, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A trên MN và SK

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} MN{\rm{//}}AB\\ MN \subset \left( {SMN} \right)\\ AB \not\subset \left( {SMN} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SMN} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {SM,AB} \right) = d\left( {AB,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right).\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l} MN \bot AK\\ MN \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAK} \right),AH \subset \left( {SAK} \right)\).

\( \Rightarrow MN \bot AH,AH \bot SK \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AH.\)

Xét tam giác vuông SAK tại A có \(AK = \frac{{CP}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4};SA = a\)

Nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).