Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn , biết và . Tính tích phân bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x}\\ dv = f'(x)d{\rm{x}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = {e^x}d{\rm{x}}\\ v = f(x) \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\ln 2} {f'(x){e^x}d{\rm{x}} = } \left. {{e^x}f(x)} \right|_0^{\ln 2} - \int\limits_0^{\ln 2} {f(x){e^x}d{\rm{x}} = } 6 - \int\limits_0^{\ln 2} {f(x){e^x}d{\rm{x = 3}}} \)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\ln 2} {f(x){e^x}d{\rm{x = 3}}} \)

Xét \(\int\limits_0^{\ln 2} {{{\left( {f(x) + a{e^x}} \right)}^2}d{\rm{x = 0}}} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\ln 2} {{{\left( {{f^2}(x) + 2a{e^x}f(x) + {a^2}{e^{2{\rm{x}}}}} \right)}^2}d{\rm{x = 0}}} \)

\(\Leftrightarrow 6 + 6{\rm{a}} + \frac{3}{2}{a^2} = 0 \Leftrightarrow a = - 2\)

\(\Rightarrow \int\limits_0^{\ln 2} {{{\left( {f(x) - 2{e^x}} \right)}^2}d{\rm{x = 0}}} \Leftrightarrow f(x) = 2{{\rm{e}}^x} \Rightarrow \int\limits_0^{\ln 2} {f(x)d{\rm{x}}} = 2\)