Cho x và y là những số thực không âm thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = x + y thuộc tập nào dưới đây ?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(9 - {y^2} > 0 \Rightarrow 0 \le y < 3\)

\({\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{{y^2} - 8}}{2} = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{{{y^2} - 8}}{2} = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {9 - {y^2}} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right)\)

\(2{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} - 8 = {\log _2}\left( {9 - {y^2}} \right) - {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {\frac{{9 - {y^2}}}{2}} \right) + 2\frac{{9 - {y^2}}}{2}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 1}} + 2 > 0\,\,\forall t > 0.\)

Từ đó suy ra \(\frac{{9 - {y^2}}}{2} = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 9\).

Ta có \({\left( {x + 1 + y} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 \left( {x + 1} \right) + y} \right)^2} \le \left( {2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} \right)\left( {\frac{1}{2} + 1} \right) = \frac{{27}}{2}\)

Suy ra \(x + 1 + y \le \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow x + y \le \frac{{3\sqrt 6 }}{2} - 1\).

Dấu bằng xảy ra khi \(2\left( {x + 1} \right) = y = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1\\ y = \sqrt 6 \end{array} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = x + y \approx 2,67\) khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1\\ y = \sqrt 6 \end{array} \right.\).