Cho số nguyên a, số thực b. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để tồn tại số thực x thỏa mãn và . Tổng các phần tử của tập S là

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ a \ge - 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt {x - 2} \\ v = \sqrt {a + 2} \end{array} \right.{\rm{ }};{\rm{ }}u,v \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = {4^b}(1)\\ u + v = {3^b}{\rm{ }}(2) \end{array} \right.\)

Trong đó (1) là phương trình của đường tròn tâm I(0;0), bán kính R = 2^b và (2) là phương trình của một đường thẳng.

Ta phải có: \({\rm{d}}(I,d) = \frac{{\left| { - {3^b}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \le {2^b} \Rightarrow {2^b} \le {3^b} \le {2^{b + \frac{1}{2}}} \Rightarrow 0 \le b \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\\ 1 \le u + v = {3^b} \le {{\rm{3}}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 2.56{\rm{ }} \end{array} \right.\).

\({v^2} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow {v^2} = a + 2 \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow - 2 \le a \le 1,27\)

\( \Rightarrow a \in {\rm{\{ - }}2; - 1;0;1{\rm{\} }}\)

Thử lại với

\(a = 1 \Rightarrow v = \sqrt 3 \Rightarrow {u^2} = {4^b} - 3 \ge 0 \Rightarrow b \ge {\log _4}3\)

\(\Rightarrow u = {3^b} - \sqrt 3 \ge {3^{{{\log }_4}3}} - \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {u^2} + {v^2} \ge {\left( {{3^{{{\log }_4}3}} - \sqrt 3 } \right)^2} + 3 > 3.4\) trí với \({u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\)

Vậy có 3 giá trị nguyên của a.