Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai...

* Hướng dẫn giải

Dựng hình bình hành ABCD. Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD, BM.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} SH \bot AB\\ \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

AC // (SBD) nên \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l} HN/{\kern 1pt} /AM\\ AM \bot BD \end{array} \right. \Rightarrow HN \bot BD\).

Kẻ \(HK \bot SN\) tại K, ta có \(HK \bot \left( {SBD} \right)\) nên \(d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HK\).

\(\begin{array}{l} SH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\\ HN = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ HK = \frac{{HS.HN}}{{\sqrt {H{S^2} + H{N^2}} }} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{3}{{16}}} }}a = \frac{{\sqrt {21} a}}{{14}} \end{array}\).

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).