Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (SAB) là điểm H thoả mãn và góc giữa hai...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\).

Gọi M là hình chiếu của C lên SB.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} SB \bot CM\\ SB \bot CA \end{array} \right. \Rightarrow SB \bot AM\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \(\widehat {AMC} = 60^\circ \).

Ta có \(\Delta MAC\) đều \( \Rightarrow MI = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} > IB\) (vô lý)

Suy ra \(\widehat {AMC} = 120^\circ \Rightarrow MI = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }}\).

Suy ra \(HK = \frac{4}{3}IM = \frac{{2a\sqrt 2 }}{{3\sqrt 3 }}\). Ta lại có \(BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BH = \frac{4}{3}BI = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow SH = \frac{{2a}}{3}\).

Vậy thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{2a}}{3}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{9}\).