Cho x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của khi x, y thay đổi.

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết, ta có \({x^2} + {y^2} + xy - 9x - 9y + 2 = 0\left( * \right)\)

Ta thấy x = 8,y = 3 thỏa mãn (*), đặt x = a + 8,y = b + 3 khi đó:

\(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + xy - 9x - 9y + 2 = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + ab + 10{\rm{a}} + 5 = 0 \Leftrightarrow 10{\rm{a}} + 5b = - \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\\ \Rightarrow 10{\rm{a}} + 5b \le 0 \Leftrightarrow 2{\rm{a}} + b \le 0 \end{array}\)

Ta có: \(P = \frac{{3x + 2y - 9}}{{x + y + 10}} = \frac{{3a + 2b + 21}}{{a + b + 21}} = 1 + \frac{{2a + b}}{{a + b + 21}} \le 1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 8,y = 3. Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1