Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(6x - 9{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{2}{3}\).

Đặt \(t = 3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} ,x \in \left[ {0\,;\frac{2}{3}} \right]\).

Ta có: \(t' = - 4.\frac{{6 - 18x}}{{2\sqrt {6x - 9{x^2}} }} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)\).

Bảng biến thiên cho \(t = 3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} \). Vì \(x \in \left[ {0\,;\frac{2}{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right]\)

Phương trình trở thành: \(2f\left( t \right) = m - 3 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m - 3}}{2},t \in \left[ { - 1;3} \right]\,.\,\,\left( * \right)\)

Phương trình \(2f\left( {3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) = m - 3\) có nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{m - 3}}{2}\) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow - 6 \le \frac{{m - 3}}{2} \le - 2 + a \Leftrightarrow - 12 \le m - 3 \le - 4 + 2a \Leftrightarrow - 9 \le m \le - 1 + 2a,\) với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = a + 2,a \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7;..; - 1} \right\} \Rightarrow \) có 9 giá trị m nguyên thỏa ycbt