Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int...

* Hướng dẫn giải

+) Đặt \(t = \sqrt[3]{x} \Rightarrow {t^3} = x \Rightarrow 3{t^2}dt = dx\)

Đổi cận:

Khi đó \(\int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{{{t^3}}}3{t^2}dt} = 3\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 2\)

+) Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\cos x\sin xdx \Rightarrow dt = - 2{\cos ^2}x\tan xdx \Rightarrow \tan xdx = - \frac{1}{{2t}}dt\)

Đổi cận:

Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\frac{1}{4}} {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 12\)

+) Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow dt = 2{x^2}\frac{{dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{t}\)

Đổi cận:

Khi đó \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} } = \frac{{2 + 12}}{2} = 7\)