Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC với A(6;3;5) và đường thẳng BC có phương trình tham số Gọi là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳ...

* Hướng dẫn giải

Gọi M(1-t; 2+t; 2t) là hình chiếu của \(\Delta\) lên BC.

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 5 - t;t - 1;2t - 5} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;2} \right)\) là véc-tơ chỉ phương của BC.

Do đó \(- 1\left( { - 5 - t} \right) + 1\left( {t - 1} \right) + 2\left( {2t - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\) Suy ra M(0;3;2)

Vì ABC là tam giác đều nên M là trung điểm của BC. Suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \Rightarrow G\left( {2;3;3} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua G, có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {1;5; - 2} \right).\)

Suy ra \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 5t\\ x = 3 - 2t \end{array} \right..\) Với t = -1 ta có \(Q\left( {1; - 2;5} \right) \in \Delta .\)