Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa điều kiện . Tính

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = - x \Rightarrow {\rm{d}}t = - {\rm{d}}x\), đổi cận \(x = - \frac{\pi }{2} \to t = \frac{\pi }{2}x = \frac{\pi }{2} \to t = - \frac{\pi }{2}\).

Khi đó \(I = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{ - \frac{\pi }{2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t} \).

Suy ra \(2I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x{\rm{d}}x} = 0 \Rightarrow 2I = 0 \Rightarrow I = 0\).