Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB = 2a, AD = DC = CB = a, SA vuông góc với đáy và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của AB, ta có BC // DE. Suy ra BC // (SDE).

\(\Rightarrow d\left( {BC,SD} \right) = d\left( {BC,\left( {SDE} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SDE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SDE} \right)} \right)\).

Hạ \(AF \bot DE\left( {F \in DE} \right) \Rightarrow DE \bot \left( {SAF} \right)\).

Hạ \(AH \bot SF\left( {H \in SF} \right)\). Suy ra \(AH \bot \left( {SDE} \right)\).

\(\Rightarrow d\left( {A,\left( {SDE} \right)} \right) = AH\).

Ta có: tam giác ADE đều cạnh a, suy ra \(AF = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong \(\Delta SAF:\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\).

Suy ra \(A{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {BC,SD} \right) = d\left( {A,\left( {SDE} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).