Biết với a, b, c là các số nguyên và e là cơ số của logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c.

* Hướng dẫn giải

Ta có : \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} + 5x + 6} \right){{\rm{e}}^x}}}{{x + 2 + {{\rm{e}}^{ - x}}}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right){{\rm{e}}^{2x}}}}{{\left( {x + 2} \right){{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \)

Đặt \(t = \left( {x + 2} \right){{\rm{e}}^x} \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {x + 3} \right){{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x\). Đổi cận : \(x = 0 \Rightarrow t = 2,x = 1 \Rightarrow t = 3{\rm{e}}\)

\(I = \int\limits_2^{3{\rm{e}}} {\frac{{t{\rm{d}}t}}{{t + 1}}} = \int\limits_2^{3{\rm{e}}} {\left( {1 - \frac{1}{{t + 1}}} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( {t - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_2^{3{\rm{e}}} = 3{\rm{e}} - 2 - \ln \frac{{3{\rm{e}} + 1}}{3}\).

Vậy a = 3, b = 2, c = 1 ⇒ S = 9.