Xét các số thực a, b, x, y thoả mãn a > 1, b > 1 và . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x + 2y - 1 bằng với . Giá trị của S = m - n bằng

* Hướng dẫn giải

Từ \({a^{x - y}} = \sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow x - y = {\log _a}\sqrt[3]{{ab}} = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{3}\) và \({b^{x + y}} = \sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow {\log _a}{b^{x + y}} = {\log _a}\sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow (x + y){\log _a}b = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{3}\)

Mặt khác a > 1, b > 1 suy ra \({\log _a}b > 0 \Rightarrow x + y = \frac{1}{{3{{\log }_a}b}} + \frac{1}{3}\)

Nên có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - y = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{3}}\\ {x + y = \frac{1}{{3{{\log }_a}b}} + \frac{1}{3}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{1}{{6{{\log }_a}b}}}\\ {y = \frac{1}{{6{{\log }_a}b}} - \frac{1}{6}{{\log }_a}b} \end{array}} \right.} \right.\)

Ta có: \(P = 3x + 2y - 1 = 3\left( {\frac{1}{3} + \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{1}{{6{{\log }_a}b}}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{6{{\log }_a}b}} - \frac{1}{6}{{\log }_a}b} \right) - 1 = \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{5}{{6{{\log }_a}b}}\)

Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm \(\frac{{{{\log }_a}b}}{6},\frac{5}{{6{{\log }_a}b}}\) ta có

\(P = \frac{{{{\log }_a}b}}{6} + \frac{5}{{6{{\log }_a}b}} \ge 2 \cdot \sqrt {\frac{{{{\log }_a}b}}{6} \cdot \frac{5}{{6{{\log }_a}b}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Dấu bằng khi \(\frac{{{{\log }_a}b}}{6} = \frac{5}{{6{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow {\log _a}b = 5\)

Vậy giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow x = \frac{6}{5};y = - \frac{4}{5}.{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 5}\\ {n = 3} \end{array} \Rightarrow S = m - n = 2} \right.\)