Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a; . Tam giác A'BC vuông cân tại A' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Khoảng cách giữa hai...

* Hướng dẫn giải

+ Gọi H là trung điểm cạnh BC, suy ra \(A'H \bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {A'BC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\ \left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ A'H \subset \left( {A'BC} \right)\\ A'H \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm H trên cạnh AA'.

Do \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot A'H\\ BC \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHA'} \right) \Rightarrow BC \bot HK\)

Suy ra SK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA' và BC.

Do đó \(d\left( {AA',BC} \right) = HK.\)

+ Ta có \(A'H = \frac{{BC}}{2} = a\sqrt 3 ;AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = a\)

Suy ra \(HK = \frac{{AH.A'H}}{{\sqrt {A{H^2} + A'{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {AA',BC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).