Cho hàm số f(x) có f(2) = 15 và , . Khi đó bằng

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)}& = &{\int {f'} (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int {\frac{{x - 7}}{{x + 2 - 3\sqrt {x + 2} }}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\\ {}& = &{\int {\frac{{\left( {\sqrt {x + 2} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {x + 2} - 3} \right)}}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\\ {}& = &{\int {\left( {1 + \frac{3}{{\sqrt {x + 2} }}} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = x + 6\sqrt {x + 2} + C.} \end{array}\)

Vì \(f(2) = 15 \Rightarrow 2 + 6\sqrt {2 + 2} + C = 15 \Rightarrow C = 1\)

Khi đó \(\int\limits_2^7 {\left( {x + 6\sqrt {x + 2} + 1} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 4\sqrt {{{(x + 2)}^3}} + x} \right)|_2^7 = \frac{{207}}{2}\)