Cho các số thực x, y thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) và . Tìm giá trị nhỏ nhất của P với P = 2x + y.

* Hướng dẫn giải

\({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right) = {\log _3}\left( {1 - xy} \right) + \left( {1 - xy} \right) (1)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) với t > 0, ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0\,\forall t > 0\)

⇒ f(t) luôn đồng biến với \(\forall t > 0\)

\(\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x + y = 1 - xy \Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}}(2)\)

Thế (2) vào P ta được \(P = 2x + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}\) Với \(0 \le x \le 1\)

\(P' = 2 - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0\); với \(0 \le x \le 1\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 1 đạt được khi x= 0; y = 1.