Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

* Hướng dẫn giải

Xét \(u = {x^4} - 2{x^2} - m\) trên đoạn [-1;2] có \(u' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 \in \left[ { - 1;\,2} \right]\\ x = 0 \in \left[ { - 1;\,2} \right]\\ x = - 1 \in \left[ { - 1;\,2} \right] \end{array} \right.\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {{\rm{max u}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} = {\rm{max}}\left\{ {u\left( { - 1} \right),u\left( 0 \right),u\left( 1 \right),u\left( 2 \right)} \right\} = {\rm{max}}\left\{ { - 1 - m, - m,8 - m} \right\} = 8 - m\\ \mathop {{\rm{min u}}}\limits_{[ - 1;2]} = {\rm{min}}\left\{ {u\left( { - 1} \right),u\left( 0 \right),u\left( 1 \right),u\left( 2 \right)} \right\} = {\rm{min}}\left\{ { - 1 - m, - m,8 - m} \right\} = - 1 - m \end{array} \right.\).

Nếu \(\left( { - 1 - m} \right)\left( {8 - m} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le - 1\\ m \ge 8 \end{array} \right.\) thì \(\mathop {min}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 0\) (khác 2). 

Nếu \(\left( { - 1 - m} \right)\left( {8 - m} \right) > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 8\) thì \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = {\rm{min}}\left\{ {\left| { - 1 - m} \right|,\left| {8 - m} \right|} \right\} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left| { - 1 - m} \right| = 2\\ - 1 < m < 8\\ \left| { - 1 - m} \right| \le \left| {8 - m} \right| \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \left| {8 - m} \right| = 2\\ - 1 < m < 8\\ \left| {8 - m} \right| \le \left| { - 1 - m} \right| \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = 6 \end{array} \right.\)

Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 7.