Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn . Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho .

* Hướng dẫn giải

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 6 \le 0\). (1)

Giả sử M(x;y) thỏa mãn pt , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn (C₁) tâm I(2;2) bán kính \({R_1} = \sqrt 2 \). Các đáp án đề cho đều ứng với m > 0. Nên dễ thấy \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\) là phương trình đường tròn (C₂) tâm J(-1;1) bán kính \({R_2} = \sqrt m \). Vậy để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa đề khi chỉ khi (C₁) và (C₂) tiếp xúc ngoài và (C₁) trong (C₂) 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} IJ = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {10} = \sqrt m + \sqrt 2 \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)^2}\\ IJ = {R_2} - {R_1} \Rightarrow m = {\left( {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \right)^2} \end{array} \right.\)