Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn (O;r) và (O';r). Gọi A là điểm di động trên đường tròn (O;r) và B là điểm di động trên đường tròn (O';r)...

* Hướng dẫn giải

Kẻ các đường sinh AA', BB' của hình trụ (T).

Khi đó \({V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}} = \frac{1}{3}OO'.\left( {\frac{1}{2}OA.OB'.\sin AOB'} \right) = \frac{1}{3}{r^3}\sin AOB' \le \frac{1}{3}{r^3}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\widehat {AOB'} = 90^\circ \) hay \(OA \bot O'B\).

Như vậy, khối tứ diện OO'AB có thể tích lớn nhất bằng \(\frac{1}{3}{r^3}\), đạt được khi \(OA \bot O'B\). Khi đó \(A'B = r\sqrt 2 \) và \(AB = \sqrt {A'{A^2} + A'{B^2}} = r\sqrt 6 \).