Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\ x = b \in \left( { - 1;0} \right)\\ x = c \in \left( {1;2} \right) \end{array} \right.\)

Ta có: \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) - 1 = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\\ f\left( x \right) - 1 = b \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ f\left( x \right) - 1 = c \in \left( {1;2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \end{array} \right.\)

Xét phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = a + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\)

⇒ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. Xét phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = b + 1 \in \left( {0;1} \right)\)

⇒ Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt. Xét phương trình \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = c + 1 \in \left( {2;3} \right)\)

⇒ Phương trình (3) có 1 nghiệm duy nhất. Dễ thấy các nghiệm trên đều không trùng nhau.

Vậy phương trình \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\) có tất cả 7 nghiệm thực phân biệt.