Cho hàm số , trong đó a, b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1;1] bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {x^2}\), khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} \left| {8{x^4} + a{x^2} + b} \right| = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} \left| {8{t^2} + at + b} \right| = 1\)

Xét \(g(t) = \left| {8{t^2} + at + b} \right|,t \in \left[ {0;1} \right]\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = \left| b \right|;g\left( 1 \right) = \left| {8 + a + b} \right|;g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \left| {2 + \frac{a}{2} + b} \right|\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} 1 \ge \left| b \right|\\ 1 \ge \left| {8 + a + b} \right|\\ 1 \ge \left| {2 + \frac{a}{2} + b} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 \ge \left| { - b} \right|\\ 1 \ge \left| { - 8 - a - b} \right|\\ 2 \ge \left| {4 + a + 2b} \right| \end{array} \right. \Rightarrow 4 \ge \left| { - b} \right| + \left| { - 8 - a - b} \right| + \left| {4 + a + 2b} \right| \ge 4\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left[ \begin{array}{l} - 2b = - 16 - 2a - 2b = 4 + a + 2b = 2\\ - 2b = - 16 - 2a - 2b = 4 + a + 2b = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 8\\ b = - 1 \end{array} \right.\)