Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA' và BB' đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'...

* Hướng dẫn giải

Thể tích khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' là

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.1 = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi M là trung điểm AB \( \Rightarrow CM \bot \left( {ABB'A'} \right)\) và \(CM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Do đó, thể tích khối chóp  là: \({V_{C.ABFE}} = \frac{1}{3}{S_{C.ABFE}}.CH = \frac{1}{3}.1.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\).

Thể tích khối đa diện A'B'C'EFC là:

\({V_{A'B'C'EFC}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABFE}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Do A' là trung điểm C'E' nên:

\(d\left( {E',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 2d\left( {A',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

\({S_{CC'F'}} = {S_{F'B'F}} + {S_{FB'C'C}} = {S_{FBC}} + {S_{FB'C'C}} = {S_{BCC'B'}} = 1\).

Thể tích khối chóp E'.CC'F' là

\({V_{E'.CC'F'}} = \frac{1}{3}{S_{CC'F'}}.d\left( {E',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{3}.1.\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Thể tích khối đa diện EFA'B'E'F' bằng

\({V_{EFA'B'E'F'}} = {V_{E'.CC'F'}} - {V_{A'B'C'EFC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) .