Xét các số thực x, y thỏa mãn x > 0 và . Giá trị lớn nhất của biểu thức thuộc tập hợp nào dưới đây?

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \({x^4} + {e^{4y}} - 3 = x.{e^y}\left( {1 - 2x.{e^y}} \right)\)

Đặt \(t = {e^y}\left( {t > 0} \right)\) ta có: \({x^4} + {t^4} - 3 = xt\left( {1 - 2xt} \right) \Leftrightarrow 3 + xt = {\left( {{x^2} + {t^2}} \right)^2} \ge 4{\left( {xt} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le xt \le 1\).

Lại do \(x,t > 0 \Rightarrow 0 < xt \le 1 \Rightarrow 0 < x.{e^y} \le 1 \Leftrightarrow \ln x + y \le 0\) nên \(P \le 0\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ xt = 1\\ x,t > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = t = 1\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 0 \end{array} \right.\)

Vậy \({P_{\max }} = 0 \in \left[ {0;\,\,3} \right)\).