Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là:

* Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [-2;1].

Ta có: \(y = \left| {{x^2} + 2x + m - 4} \right| = \left| {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + m - 5} \right|{\rm{ }}\left( * \right)\)
Đặt \(t = {\left( {x + 1} \right)^2},{\rm{ }}x \in \left[ { - 2;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right]\).

Lúc đó hàm số trở thành: \(f\left( t \right) = \left| {t + m - 5} \right|\) với \(t \in \left[ {0;4} \right]\).

Nên \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 2;1} \right]} = \mathop {\max f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} \left\{ {f(0);f(4)} \right\}\)

\( = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} \left\{ {\left| {m - 5} \right|;\left| {m - 1} \right|} \right\}\).

\(\ge \frac{{\left| {m - 1} \right| + \left| {m - 5} \right|}}{2}\).

\( \ge \frac{{\left| {m - 1 + 5 - m} \right|}}{2} = 2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left| {m - 1} \right| = \left| {m - 5} \right| = 2 \Leftrightarrow m = 3\).

Do đó giá trị nhỏ nhất của \(\mathop {\max f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ {0;4} \right]} \) là 2 khi m = 3.