Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt nằm trên các cạnh A'B', BC sao cho MA' = MB' và NB = 2NC. Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa...

* Hướng dẫn giải

Trong (A'B'C'D') kẻ MF // DN suy ra \(\Delta A'MF\Delta CDN\,\,\left( {g.g} \right)\) do đó \(\frac{{A'F}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'F = \frac{a}{6} \Rightarrow D'F = \frac{{5a}}{6}\).

Trong (BCC'B') kẻ NE // DF suy ra \(\Delta BNE\Delta D'FD\,\,\left( {g.g} \right)\) do đó \(\frac{{BE}}{{D'D}} = \frac{{BN}}{{D'F}} = \frac{4}{5} \Rightarrow BE = \frac{{4a}}{5} \Rightarrow B'E = \frac{a}{5}\).

Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương ABCD.A'B'C'D' theo thiết diện là ngũ giác DNEMF với \(EB' = \frac{a}{5}\) và \(A'F = \frac{a}{6}\).

Ta có: \({V_{\left( {{H'}} \right)}} = {V_{E.B'C'D'FM}} + {V_{E.D'FD}} + {V_{E.DCC'D'}} + {V_{E.NCD}}\)

\(= \frac{1}{3}\left( {{a^2} - \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{6}} \right)\frac{a}{5} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}a.\frac{{5a}}{6}.a + \frac{1}{3}{a^3} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}a.\frac{a}{3}.\frac{{4a}}{5} = \frac{{209}}{{360}}{a^3}.\)

 Khi đó: \({V_{\left( H \right)}} = {a^3} - {V_{\left( {H'} \right)}} = \frac{{151}}{{360}}{a^3}\).

Vậy \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \frac{{151}}{{209}}\).