Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với \(x \le 2020\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + 2x - 2y = 1 + {4^y}\).

* Hướng dẫn giải

Theo đề bài \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + 2x - 2y = 1 + {4^y} \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 2y + {2^{2y}}\)

Đặt \(t = {\log _2}2\left( {x - 1} \right) \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) = {2^t}\).

Ta có \({2^t} + t = {2^{2y}} + 2y\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\)  trên R

\(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t \in R \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên .

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( {2y} \right) \Leftrightarrow t = 2y \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {x - 1} \right) = 2y\).

\(\Leftrightarrow 2\left( {x - 1} \right) = {2^{2y}}\)

\(\Leftrightarrow x = {2^{2y - 1}} + 1\)

Mà \(x \le 2020 \Rightarrow {2^{2y - 1}} + 1 \le 2020 \Leftrightarrow y \le \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_2}2019} \right)\).

Vì \(y \in {Z^ + } \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 5 cặp điểm cặp số nguyên dương (x;y).