Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt{\ln ^{2} x+1} \cdot \frac{\ln x}{x}\) thoả mãn \(F(1)=\frac{1}{3}\) . Giá trị của \(F^{2}(e)\) là

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\sqrt{\ln ^{2} x+1} \Rightarrow t d t=\frac{\ln x}{x} d x\)

\(\int \sqrt{\ln ^{2} x+1} \cdot \frac{\ln x}{x} d x=\int t^{2} d t=\frac{t^{3}}{3}+C=\frac{\left(\sqrt{\ln ^{2} x+1}\right)^{3}}{3}+C\)

Vì \(F(1)=\frac{1}{3}\) nên C=0

Vậy \(F^{2}(e)=\frac{8}{9}\)