Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;1); B(1;1;0); C (1;0;1) và mặt phẳng \((P): x+y-z-1=0\). Điểm M thuộc (P) sao cho MA=MB=MC. Thể tích khối chóp M.ABC là

* Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y;z)

Do \(M\in (P) \,và \,MA=MB=MC\) nên ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} M \in (P)\\ M{A^2} = M{B^2}\\ M{A^2} = M{C^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y - z - 1 = 0\\ {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\ {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y - z - 1 = 0\\ x - z = 0\\ x - y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1\\ z = 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;1;1} \right)\\ Ta\,\,có\,\overrightarrow {MA} = \left( {1;0;0} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {0; - 1;0} \right)\\ \overrightarrow {MC} = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right].\overrightarrow {MC} = - 1\\ {V_{M.ABC}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right].\overrightarrow {MC} } \right| = \frac{1}{6} \end{array}\)