Gọi M và m là GTLN và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập hợp \

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)

Ta có \(y' = \frac{{\frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\sqrt {{x^2} - 1} }}.\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra \(M = 0;\;m = - \sqrt 5 .\)

Vậy T = m.M = 0.