Cho các số a, b > 1 thỏa mãn \({\log _2}a + {\log _3}b = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \sqrt {{{\log }_3}a} + \sqrt {{{\log }_2}b} \).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(P = \sqrt {{{\log }_3}a} + \sqrt {{{\log }_2}b} = \sqrt {{{\log }_3}2} \sqrt {{{\log }_2}a} + \sqrt {{{\log }_2}3} \sqrt {{{\log }_3}b} \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có \({P^2} \le \left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_2}3} \right)\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_3}b} \right) = {\log _3}2 + {\log _2}3\).

Suy ra \(P \le \sqrt {{{\log }_3}2 + {{\log }_2}3} \)