Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đồng biến trên (0; 2)?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right).\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng đó.

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} + 6x \ge {m^2} - 3m + 2\left( * \right)\) với \(\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = 3{x^2} + 6x\) trên khoảng (0;2)

Ta có \(y' = g'\left( x \right) = 6x + 6.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện để (*) xảy ra là : \({m^2} - 3m + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2.\)

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}.\)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.