Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của pt \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) 

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x > 0,n \ne 0.\)

Ta có:

\({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x \Leftrightarrow {\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} - 4x + 1 = {\log _7}\left( {2x} \right) + 2x.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _7}t + t\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó ta có: \(4{x^2} - 4x + 1 = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}.\)

\({x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + 2.\frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} = \frac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)\) hoặc \({x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + 2.\frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} = \frac{1}{4}.\left( {9 - \sqrt 5 } \right).\)

Vậy \({x_1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4};{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\). Do đó a = 9;b = 5 và a + b = 9 + 5 = 14.