Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và \(f\left( 2 \right) = 16,\;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 4\). Tính \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)\,}...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{x}{2} = t\; \Rightarrow x = 2t \Rightarrow {\rm{d}}x = 2{\rm{d}}t\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\;x = 4 \Rightarrow t = 2\).

Khi đó \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)\,} {\rm{d}}x = 4\int\limits_0^2 {tf'\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = \left. {4tf\left( t \right)} \right|_0^2 - 4\int\limits_0^2 {f\left( t \right)\,} {\rm{d}}t = 4.2.f\left( 2 \right) - 4.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} \)

= 4.2.16 - 4.4 = 112