Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 6} \right)x + 2020\) đồng biến trên R?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = m{x^2} - 4mx + 3m + 6\).

TH1 : Nếu \(m = 0 \Rightarrow y' = 6 > 0,\forall x \in R \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên R nên m = 0 thỏa mãn.

TH2 : Nếu m khác 0, hàm số đã cho đồng biến trên R

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \ge 0,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ {\left( {2m} \right)^2} - m\left( {3m + 6} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ {m^2} - 6m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 0 \le m \le 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 6 \end{array}\)

Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Từ hai trường hợp trên ta được \(m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).