Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\). Tính \(I = \int\limit...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \)

\(= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.\cos x.f'\left( {\sin x} \right)dx} \).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2.\left[ {\left. {\left( {t.f\left( t \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 1.\end{array}\)